योगायोगांचे गणित

मोंटू शाळेतून घरी आला तो एका हातात मिकी माऊसचे चित्र असलेली फूटपट्टी आणि दुस-या हातात नवीन रंगीत स्केचपेन नाचवतच. आल्या आल्या त्यानं सांगितलं, "आज की नाही शाळेत मज्जाच आली. आमच्या क्लासमधल्या दोन दोन मुलांचे बर्थडे आजच होते."
"त्यात काय एवढं? आमच्या पण वर्गात दोन मुलींचे वाढदिवस एकाच दिवशी आहेत." त्याची बहीण तो-यात म्हणाली.
"मला आठवतंय् आमच्या गणिताच्या शिकवणीच्या वर्गात सुद्धा अशी दोन मुलं होती आणि आमच्या ऑफीसात सुद्धा असे दोघेजण आहेत." बाबांना आठवण झाली.
"आणि आपल्या बिल्डिंगमधल्या त्या मिसेस खन्ना आणि मिसेस नायर, दोघींना नाही कां एकाच दिवशी बर्थडे विश करावं लागतं? एकीला केलं आणि दुसरीला नाही केलं तर मेल्या किती चडफडतात?" आईनं पुस्ती जोडली.
सगळ्यांना वाटलं, खरंच किती योगायोगाच्या गोष्टी!
"योगायोगावरून आठवण झाली."कोणीतरी म्हणालं,"आपले नाना, पुण्यश्लोक माणूस हो, एकादशीच्या दिवशी वैकुंठाला गेले."
"आणि ती रखमाकाकू एवढी कजाग, ती कशी काय शिवरात्रीला जाऊन कैलासवासी झाली कुणास ठाऊक?" कोणीतरी उद्गारलं.
"पिंकीच्या बर्थडेलाच तिच्या डॅडींना प्रमोशन मिळालं, तिला इतका अभिमान आहे त्याचा? काय कोइन्सिडेन्स नाही?"
"नाही गं, तिच्या मम्मीनं तो नवस केला होता ना? तो पूर्ण केला आणि महिन्याभरात त्याची प्रचीती आली."
कॉलेजात असतांना मी थोडे संख्याशास्त्र शिकलो होतो. म्हणालो, "खरं सांगू कां? हे असंच कांहीतरी नेहमी होत असतं. असं झालं नाही तरच आश्चर्य म्हणावं लागेल."
सगळ्यांना नवल वाटलं. "चल्, कांही तरी बाता मारू नकोस. कोणची गोष्ट कधी घडणार हे सगळे दैवी संकेत असतात बरं. असले योगायोग कांही आपोआप घडत नाहीत? तसे योग जुळून यावे लागतात."
"ठीक आहे, आता मी शक्याशक्यतेच्या शास्त्राबद्दल थोडं सांगतोच." मी सुरुवात केली."एका बाटलीत लेमनच्या आणि मॅंगोच्या अगदी तितक्याच गोळ्या मिसळून ठेवल्या आहेत, त्यातली कोणतीही एकच काढली तर ती लेमनची असायची किती शक्यता आहे?"
"त्यात काय मोठं? कोणीसुद्धा सांगेल की पन्नास टक्के म्हणून."
"बरोब्बर. आता समजा दोन गोळ्या काढल्या तर त्यातली एक लेमनची निघण्याची किती शक्यता आहे ?"
"पन्नास दुनी शंभर टक्के, किती सोपं ?"
"नाही हं, हे उत्तर चुकलं. दोन्ही गोळ्या मॅंगोच्याच निघू शकतात ना? पहिली गोळी लेमनची निघायची पन्नास टक्के शक्यता होती तशीच ती मॅंगोची निघायची पण पन्नास टक्के शक्यता होती. त्यापैकी दुसरी गोळी लेमनची निघायची शक्यता त्याच्या अर्धी होती. म्हणजेच दोन गोळ्या काढतांना त्यातील एक लेमनची गोळी निघायची शक्यता पंचवीस टक्क्यांनी वाढली. पण दोन्ही मिळून पंच्याहत्तर टक्केच झाले."
"हे मात्र खरं, शंभर टक्के कधी होणार?"
"गणितानुसार कधीच नाही. कारण तिस-या गोळीच्या वेळी टक्केवारी साडेबारा टक्क्याने वाढेल, चौथ्या गोळीला सव्वासहा टक्क्याने अशी कमी कमी प्रमाणात ती वाढत जाईल. म्हणजे शंभरातून जेवढे टक्के उरतील त्याच्या अर्ध्यानेच ती वाढत राहील. अशा प्रकारे सात गोळ्या काढल्यावर ती शक्यता नव्याण्णऊ टक्क्याहून जास्त झाली की शंभर टक्के होऊन गेले असे वाटले तर समजू. कारण याचा अर्थ शंभर वेळा प्रत्येक वेळी सात गोळ्या बरणीतून काढल्या तर त्यातल्या नव्याण्णऊ वेळा त्यात किमान एक तरी लेमनची गोळी निघणारच. प्रत्यक्षात तोपर्यंत मॅंगोच्या सगळ्या गोळ्या तरी संपून जातील नाहीतर आपला पेशन्स तरी संपेल. पण जर आपल्याकडे असंख्य गोळ्या असतील तर मात्र असंख्य प्रयत्न करून सुद्धा ती शक्यता शंभर टक्क्यावर कधीच पोचणार नाही."
"आपल्याकडे मोजक्याच गोळ्या असतील तर?"
"समजा बरणीमध्ये प्रत्येकी पांच पांच अशा दहाच गोळ्या आहेत. त्यातील पहिली गोळी मॅंगोची निघाली तर ती एकाने कमी होऊन चारच उरल्या, पण लेमनच्या पांच आहेत. यामुळे दुस-या वेळी ती निघण्याची शक्यता पन्नास टक्क्यांच्या पांच नवमांशने म्हणजे सुमारे अठ्ठावीस टक्क्याने वाढणार. तिस-या वेळी ती उरलेल्या टक्क्यांच्या पांच अष्टमांशने म्हणजे चौदा टक्क्याने वाढून ब्याण्णऊ टक्क्यांवर आणि त्यानंतर पांच सप्तमांशने वाढून अठ्ठ्याण्णऊ टक्क्यांवर जाईल. म्हणजे जवळजवळ शंभर टक्के झाले. पांचवी गोळी काढल्यानंतर मॅंगोच्या गोळ्या संपूनच जातील व यापुढे फक्त लेमनच्याच गोळ्या शिल्लक राहणार, अगदी शंभर टक्के खात्रीने."
"कोठल्याही एकाच प्रकारच्या दोन गोळ्या निघायची किती शक्यता असते?"
"पहिली गोळी कुठली कां असेना, दुसरी गोळी त्याच प्रकारची निघण्याची पन्नास टक्के शक्यता असणार आणि ती वेगळ्या प्रकारची निघाली तर तिसरी गोळी दोन्हीपैकी कुठल्या तरी एका प्रकारची असणारच याची अगदी शंभर टक्के खात्री आहे ना?"
"अरे तू योगायोगाबद्दल कांही सांगणार होतास ना, लिमलेटच्या गोळ्या काय चघळत बसला आहेस?"
"मला तेच सांगायचे आहे. आधी एक सोपे उदाहरण देऊन शक्याशक्यतेचं गणित कसं मांडतात याची थोडीशी ओळख करून दिली. आता जन्मतारखांचं पाहू.समजा एका वर्गात चाळीस मुले आहेत. ती वेगवेगळ्या चाळीस तारखांना जन्माला आली असण्याची भरपूर शक्यता आहे असे कोणालाही वाटेल कारण एका वर्षात ३६५ दिवस असतात. त्यांत चाळीस वेगवेगळे वाढदिवस साजरे करून पुन्हा तब्बल ३२५ दिवस उरतात किंवा वेगवेगळ्या ४० तारखा ९ वेळा घेऊन त्याशिवाय ५ तारखा रिकाम्या राहतात. वर्षभरातून ४० दिवस म्हणजे जेमतेम ११ टक्के झाले. दर नऊ दिवसामध्ये एकादा वाढदिवस येईल. असं असतांना एका वर्गातली दोन मुलं एका दिवशी कशाला जन्माला येतील?"
"आता जुळी असतील ती येतीलच म्हणा, पण ते सोडले तर असा योगायोग येणं दुर्मिळच असणार."
"आपण या मुलांना त्यांच्या रोल नंबरप्रमाणे क्रमांक देऊ. पहिल्या क्रमांकाच्या मुलाचा वाढदिवस असेल त्या दिवशीच इतर ३९ मुलांपैकी एकाचा वाढदिवस असण्याची शक्यता आहे. दुस-या क्रमांकाच्या मुलाच्या वाढदिवसाच्या दिवशीसुद्धा इतर ३९ मुलांपैकी एकाचा वाढदिवस असण्याची शक्यता आहे, पण त्यापैकी पहिल्या मुलाच्या वाढदिवसाची शक्यता आधीच पाहिलेली असल्याकारणाने ३८ नव्या शक्यता निर्माण होतात. या क्रमाने पहात गेल्यास ३९, ३८, ३७, ३६ ... ३, २, १ या क्रमाने वाढत जाऊन आपल्याला एकंदरीत ७८० शक्यता मिळतील. म्हणजे कुठल्या तरी दोन मुलांचे वाढदिवस एकाच दिवशी येण्याच्या तब्बल ७८० शक्यता दरवर्षी येतील. त्यातील एक सुद्धा खरी ठरू नये?"
"हेही बरोबरच दिसतंय्. ३६५ दिवसात ७८० शक्यता म्हणजे खूप झाल्या नाही कां?"
"पण नकारार्थी विचार करणारे म्हणतील दोन वाढदिवस एका दिवशी न येण्याच्या शक्यता पाहिल्यात कां? अहो ३६५ दिवसापैकी ३९ दिवशी वाढदिवस असण्याच्या शक्यता असतील तर ३२६ दिवशी तो नसण्याची शक्यता असते त्याचे काय? अशा चाळीस शक्यतांची गोळाबेरीज केली तर ती तेरा हजारांवर जाईल त्याचं काय ?
"खरंच! कुठे तेरा हजार आणि कुठे फक्त ७८०?"
"तिथेच तर ग्यानबाची मेख आहे. आपण पुन्हा एकदा गोळ्यांचं सोपं उदाहरण पाहू या. पहिली गोळी लेमनची निघायची शक्यता पन्नास टक्के होती तशीच ती लेमनची न निघायची शक्यताही तितकीच म्हणजे पन्नास टक्के होती. पण दुसरी गोळी काढल्यावर दोन्हीपैकी एक तरी गोळी लेमनची निघण्याची शक्यता पन्नास टक्क्यावरून वाढून पंच्याहत्तर टक्के झाली पण ती सुद्धा न निघण्याची शक्यता कमी होऊन पंचवीस टक्केच उरली. तिसरी गोळी काढतांना ती निघण्याची शक्यता आणखी साडेबारा टक्क्यांनी वाढली तर ती न निघण्याची शक्यता पुन्हा अर्धी होऊन साडेबारा टक्क्यावर खाली आली. म्हणजे सुरुवातीला दोन्ही शक्यता समान होत्या, त्यातली पहिली बेरजेने वाढत गेली तर दुसरी गुणाकाराने कमी होत गेली. जेंव्हा आपण दोन किंवा अधिक शक्यतांचा विचार करतो तेंव्हा त्या अमुक किंवा तमुक असल्या तर त्यांची बेरीज होते तर अमुक आणि तमुकसुद्धा असेल तर त्यांचा गुणाकार करावा लागतो."
"हो ना! मुलांची संख्या जितकी जास्त तितक्या शक्यता वाढणारच हे पटते."
"आता आपण जन्मतारखांचं गणित मांडूया. प्रत्येक मुलाचा वाढदिवस वर्षातील ३६५ दिवसापैकी एका दिवशी असणार याचा अर्थ वर्षातील कोणत्याही दिवशी तो येण्याची शक्यता १/३६५ इतकी असते. पहिल्या क्रमांकाच्या मुलाच्या वाढदिवसाच्या दिवशीच इतर ३९ मुलांचे वाढदिवस असण्याची शक्यता ३९/३६५ एवढी म्हणजे सुमारे १०.७ टक्के होती तर तो न येण्याची शक्यता ८९.३ टक्के होती. दुस-या क्रमांकाच्या मुलाच्या वाढदिवसाच्या दिवशी इतर ३८ मुलांचे वाढदिवस येण्याची शक्यता ३८/३६५ इतकी होती, पण पहिले १०.३ टक्के गेल्यावर उरलेल्या ८९.३ टक्क्यापैकी तिचा भाग ९.३ टक्के इतका झाला. त्यामुळे दोन्ही मिळून वीस टक्के झाले, तर न येण्याची शक्यता ऐंशी टक्क्यावर आली. असेच गणित चाळीस वेळा केल्यानंतर असे दिसते की कुठल्या तरी दोन मुलांची जन्मतारीख एकच असण्याची शक्यता सुमारे नव्वद टक्के आहे तर ती तशी नसण्याची शक्यता फक्त दहा टक्के आहे. आपण जर चाळीस मुले असलेले दहा वर्ग पाहिले तर त्यातील नऊ वर्गात एकच जन्मतारीख असलेले दोन विद्यार्थी बहुधा सांपडतील."
"अहो, इतक्या बेरजा, वजाबाक्या, गुणाकार आणि भागाकार यांची आंकडेमोड करणे किती जिकीरीचे काम आहे?"
"आहे खरं, पण संगणकाच्या सहाय्याने ते पटकन करता येते. इतकेच नव्हे तर वेगवेगळ्या संख्या घेऊन करता येते. एका ग्रुपमध्ये ५०, ५५, किंवा ६० लोक असतील तर त्यातील दोघांचा वाढदिवस एकच असण्याची शक्यता अनुक्रमे ९७, ९८.६ व ९९.४ टक्के इतकी वाढत जाते. म्हणूनच आपल्याला नेमकी एकाच जन्मतारखेला जन्माला आलेली दोन दोन माणसं अनेकदा भेटतात."
"या शक्यतांचे शंभर टक्के कोठल्या संख्येवर होणार?"
"३६५ दिवसापैकी प्रत्येक दिवशी एकेक जन्मतारीख यायची शक्यता अगदी सूक्ष्म असली तरी ती नाकारता येत नाही. ३६६ माणसांचा समूह असेल तर मात्र त्यातील निदान दोघांची जन्मतारीख एकच असण्याची शंभर टक्के खात्री देता येईल."
"आणि लहान ग्रुप असला तर?"
"फक्त दोन किंवा तीनच माणसे घेतली तर ती शक्यता एक टक्क्यापेक्षासुद्धा कमी असेल. तेंव्हा तसे झाले तर तो खराच योगायोग! पण समजा दहा किंवा पंधरा माणसे असतील तर ती बारा व पंचवीस टक्क्यावर जाईल. वीस आणि पंचवीस माणसांत ती अनुक्रमे एकेचाळीस आणि सत्तावन टक्के होईल. दोन्हींच्या मध्ये तेवीसच्या आकड्यावर दोन जन्मतारखांचा योगायोग जुळण्याची शक्यता तो न जुळण्याच्या शक्यतेला पार करून पन्नासावर जाईल. तीस माणसे जरी घेतली तरी ती शक्यता सत्तर टक्क्यांच्यावर गेलेली असते.""जीवनातील इतर घटनांबद्दल सुद्धा असेच असेल ना?"
"हो. जन्म व लग्न या गोष्टी सर्वात महत्वाच्या असतात. त्याशिवाय साखरपुडा, नोकरी लागणे, बढती, परदेशगमन वगैरेसारख्या चांगल्या घटना किंवा आजारपण, अपघात, प्रिय व्यक्तीशी ताटातूट यासारख्या वाईट घटना धरून आठ दहा तरी ठळक घटना प्रत्येकाच्या आयुष्यात येतात. आपले आई वडील, भावंडे, मुले, मित्र, शेजारी वगैरेंच्या आयुष्यातील कांही महत्वाच्या घटना आपल्याला माहीत असतात. त्या सगळ्या मिळून तीस चाळीसावर गेल्या तर त्यातील दोन गोष्टी एकाच दिवशी घडण्याचा योगायोग आला तर आश्चर्य वाटायला नको. तसेच दसरा, दिवाळी, होळी यासारखे सणवार, १५ ऑगस्ट, २६ जानेवारीसारखे राष्ट्रीय दिवस, याशिवाय महापुरुषांच्या जयंती आणि पुण्यतिथी असे सगळे धरून वीस पंचवीस तरी खास दिवस दरवर्षी येतात. हे दिवस निश्चित काळी येतात. फारफार तर दसरा आणि गांधी जयंती एका दिवशी येतील. तसे अपवाद सोडले तर त्यातील दोन तारखा कांही एकाच दिवशी येणार नाहीत, पण त्या दिवसांची संख्या जशी वाढेल तशी आपल्या आयुष्यातील महत्वाच्या घटना त्यातील एखाद्या दिवशी घडण्याची शक्यता सुद्धा वाढत जाते. पौर्णिमा, अमावास्या, चतुर्थी, एकादशी वगैरे तर दर महिन्याला येतच असतात आणि मंगळवार, गुरुवार व शनिवार दर आठवड्याला. गुरुपुष्यामृत योग हा स्वतःच एक योगायोग असतो पण तो ही वर्षातून दोन चार वेळा येतो. आपापल्या श्रद्धेनुसार कांही लोक त्यातील कांही दिवशी घडलेल्या घटनांची तेवढी नोंद घेतात पण इतर दिवशी घडलेल्या तत्सम घटनांकडे दुर्लक्ष करतात. त्यामुळे त्यांची श्रद्धा अधिकच बळकट होते." "म्हणजे आपल्याला वाटते त्यापेक्षा अधिक प्रमाणात योगायोग येतात आणि योगायोगांची शक्यता वर्तवण्याचं सुद्धा गणित आहे तर?"
"हो. आणि ते सुद्धा दोन गोष्टी एकाच दिवशी घडण्याची शक्यता आणि त्या न घडण्याची शक्यता अशा दोन प्रकारे करून पाहता येते."
"आणि त्यांची उत्तरे सारखी आली म्हणजे ते बरोबर सुटले असेच ना?"
"अं हं, तशी दाट शक्यता असते असं म्हणावं. कारण दोन्ही जागी चुका केल्या असण्याची सुद्धा थोडी शक्यता असतेच ना?"