कॉमन मॅन, सायंटिस्ट, इंजिनियर आणि एक कोडे

काही दिवसापूर्वी मिसळपाव या संस्थळावर एक सोपे वाटणारे कोडे दिले गेले होते. ते असे होते, "वीस लिटरच्या एका टाकीला खाली तोटी आहे. पूर्ण भरलेल्या टाकीतून तोटी उघडल्यावर एका मिनिटात २ लिटर पाणी कमी झाले. सर्व टाकी रिकामी होण्यास किती वेळ लागेल?"


सर्वसामान्य माणूस असा विचार करेल, "दोन लिटर पाणी निघायला १ मिनिट लागले, या गतीने वीस लिटर पाणी दहा मिनिटात बाहेर पडेल."

हे प्राथमिक शाळेतले साधे त्रैराशिक झाले, यात कोडे कसले आले? टाकीमधील पाण्याची पातळी जसजशी खाली जाईल तसतसा पाण्याचा वेग कमी कमी होत जातो हे आपल्याला दिसतेच, त्यामुळे हे उत्तर बरोबर असणार नाही.

तोटीमधून बाहेर पडणा-या पाण्याचा वेग टाकीमधील पाण्याच्या पातळीच्या उंचीच्या वर्गमूळाच्या समप्रमाणात असतो ( उंची चौपट असली तर वेग दुप्पट असेल) आणि टाकीमधील पाण्याच्या उंचीत दर क्षणाला होणारी घट (dh) त्या वेगाच्या समप्रमाणात असते (पाण्याचा वेग दुप्पट झाला तर पातळी दुप्पट वेगाने खाली येते). म्हणजेच ती उंचीच्या वर्गमूळाच्या समप्रमाणात असते. असे त्याचे शास्त्र आहे. जसजशी पाण्याची पातळी खाली जाऊन उंची कमी होत जाईल तसतसा तोटीमधून बाहेर निघणा-या पाण्याचा वेगसुध्दा कमी होत जाईल. जेंव्हा त्याची उंची शून्याच्या जवळ जाईल तेंव्हा त्याचा टाकीच्या बाहेर जाण्याचा वेगही शून्याच्या जवळ पोचेल पण शून्याला गाठण्यासाठी अनंत काळ लागेल. असे सायंटिस्ट सांगतील. तत्वतः हे बरोबर आहे. प्रत्यक्षात सुध्दा टाकीच्या तळाशी असलेला पाण्याचा पातळसा थर त्याला चिकटून राहतो. तो गुरुत्वाकर्षणाने कधीच वाहून जात नाही. या परिस्थितीत गुरुत्वाकर्षणाचा जोर अत्यंत क्षीण झालेला असतो आणि पाण्याचे सरफेस टेन्शन, व्हिस्कॉसिटी वगैरेंचा प्रभाव जास्त झाल्यामुळे टाकीच्या तळाशी थोडे पाणी शिल्लक असले तरी तोटीमधून पाणी बाहेर निघणे बंद होते. हे घडण्यासाठी अनंत काळापर्यंत थांबायची गरज नाही. यामुळे हे उत्तरसुध्दा बरोबर नाही.

माझ्यासारखा एक इंजिनियर यातले कोणतेही उत्तर देणार नाही. आळशीपणा करून मी एक सोपे तोंडी गणित केले. पाण्याचा तोटीमधून बाहेर पडण्याचा वेग सुरुवातीला एका मिनिटाला दोन लीटर असा होता आणि अखेरीस तो शून्य होणार, म्हणजे सरासरीने दर मिनिटाला एक लीटर एवढा धरला तर वीस लीटर पाणी वीस मिनिटात बाहेर पडेल. हे उत्तर मी टंकणार होतो, पण त्यापूर्वी आधी आलेली उत्तरे वाचली. त्यात वर दिलेली उत्तरे होतीच, शिवाय मौजमजा म्हणून या प्रश्नाला अनेक फाटे फोडलेले होते. ते पाहून मी आपला बेत बदलला आणि कॉलेजमध्ये असतांना ऐकलेले एक मजेदार असे अशा प्रकारचे उदाहरण दिले.
पण मला असेही जाणवले की काही लोकांना बरोबर उत्तर जाणून घेण्याची इच्छा आहे. मला आलेल्या एका संदेशात असे लिहिले होते, "उंची नसल्यामुळे उत्तर कसे काढणार?? मी Bernoulli principle चा विचार केला पण त्यासाठी उंची लागेलच ना?" त्यामुळे मला या विषयावर थोडे खोलात जाऊन काम करण्याची प्रेरणा मिळाली. कोडे घालतांना पाण्याची उंची दिलेली नाहीच, टाकीचा आकारही दिलेला नाही. ती त्रिकोणी, चौकोनी, गोल अशा कोणत्या आकाराची आहे, ती उभी आहे की पसरट आहे तेही ठाऊक नाही. शिवाय ते पाणी समुद्रातले आहे की नदीतले, त्याचे तपमान किती आहे वगैरे माहितीही नाही. प्लँटचे डिझाईन करतांना अशा अनेक गोष्टींचा उपयोग केला जातो.

पण पुरेशी माहिती नाही म्हणून इंजिनियर अडून बसत नाही. जेवढी माहिती उपलब्ध असेल तिचा पुरेपूर उपयोग करायचा आणि जी नसेल त्याबद्दल आपल्या अनुभवावरून अंदाज बांधायचा, काही बाबी गृहीत धरायच्या आणि पुढे जायचे असे त्याने करायचे असते. भरलेली टाकी रिकामी होईपर्यंत तिच्यात खारे, गोडे, थंड, गरम वगैरे जे पाणी आहे, ते जसे असेल तसेच राहणार, त्याचे गुणधर्म बदलणार नाहीत असे गृहीत धरायला काहीच हरकत नाही. टाकीचा आकार चित्रात दाखवल्याप्रमाणे कसलाही असणे शक्य असले तरी प्रत्यक्षात बहुतेक ठिकाणी त्या सिलिंडर किंवा चौकोनी आकाराच्याच असतात. या आकारांमध्ये टाकीचे क्षेत्रफळ (क्रॉस सेक्शन एरिया) तळापासून वरपर्यंत सारखेच असते. त्यामुळे गणित मांडणे सोपे होते.
टाकीचे घनफळ २० लिटर आहे आणि पहिल्या एका मिनिटात २ लिटर पाणी तोटीमधून बाहेर पडले एवढी माहिती दिली आहे. याचाच अर्थ पहिल्या एक मिनिटात एक दशांश एवढे पाणी बाहेर पडले आणि त्यामुळे पाण्याची पातळी एक दशांशाने खाली आली असा होतो. मी टाकीची उंची दहा विभागात (झोन्समध्ये) विभागली. प्रत्येक विभागातल्या पाण्याची तळापासूनची उंची वेगळी असल्यामुळे तोटीमधून बाहेर पडण्याचा वेगही त्यानुसार निराळा असणार, पण तो उंचीच्या वर्गमूळाच्या प्रमाणात असणार. दिलेल्या माहितीमधील (पहिल्या मिनिटातील) वेगाशी तुलना करून तो वेग मिळाला की तेवढ्या वेगाने त्या विभागातील सर्व पाणी बाहेर येण्यासाठी किती वेळ लागेल हे गणित करणे अगदी सोपे आहे. असा रीतीने सर्व दहा भागांना लागणारा वेळ काढला आणि त्याची बेरीज करून टाकी रिकामी होण्याला लागणारा वेळ मिळाला.

हे करतांना तीन निरनिराळ्या गोष्टी गृहीत धरल्या.

१. प्रत्येक विभागाच्या वरील टोकाएवढी त्यातील पाण्याची उंची धरून त्यामुळे पाण्याचा जेवढा वेग येईल तेवढ्याच वेगाने त्या विभागातले सर्व पाणी बाहेर आले. (हे पूर्णपणे खरे नाही, पण सोपे आहे.)

२. प्रत्येक विभागाच्या मध्यपातळीएवढी त्यातील पाण्याची उंची धरून त्यामुळे पाण्याचा जेवढा वेग येईल तेवढ्याच वेगाने त्या विभागातले सर्व पाणी बाहेर आले. (हे सत्यपरिस्थितीच्या किंचित अधिक जवळ आहे)

३. प्रत्येक विभागाची मध्य पातळी ठरवतांना त्यांच्या उंचींच्या वर्गमूळांचा (रूट मीन स्क्वेअर्स) विचार करून जी उंची निघते तेवढी त्यातील पाण्याची उंची धरून त्यामुळे पाण्याचा जेवढा वेग येईल तेवढ्याच वेगाने त्या विभागातले सर्व पाणी बाहेर आले. (हे सत्यपरिस्थितीच्या जास्त जवळ आहे)
यांची उत्तरे अनुक्रमे १५.८८ मिनिटे, १९.४९ मिनिटे आणि १७.६३ मिनिटे इतकी आली.

यातील शेवटच्या एक दशांश (सर्वात तळामधील) विभाग रिकामा होण्यास लागणारा वेळ अनुक्रमे ३.१६, ६.१६ आणि ४.३६ इतका आहे. वरचे नऊ विभाग अनुक्रमे १२.७१, १३.३२ आणि १३.२७ मिनिटात संपले. तीन्ही उदाहरणांमध्ये हे आकडे जवळ जवळ सारखे आहेत.
टाकी रिकामी होण्यासाठी किती वेळ लागेल याची माहिती किती अचूक असायला हवी आणि ती काढण्यासाठी किती आटापिटा करावा लागणार आहे या मुद्यांचा सापेक्ष विचार करून योग्य त्या पध्दतीने ते गणित मांडले आणि सोडवले जाते.

यात आणखी सूक्ष्म सुधारणा करायची असल्यास टाकीमधील पाण्याच्या स्तंभांचे (कॉलम्सचे) शंभर, हजार किंवा लाख विभाग करता येतील, प्रत्येक वेळी तळामधील विभाग शून्याच्या अधिकाधिक जवळ जाईल आणि तो रिकामा होण्यास लागणारा वेळ वाढत जाऊन तो अनंताच्या दिशेकडे जाईल. पण त्या परिस्थितीत गुरुत्वाकर्षणाचा जोर अत्यंत क्षीण आणि पाण्याचे सरफेस टेन्शन, व्हिस्कॉसिटी वगैरेंचा प्रभाव पडत होत असल्यामुळे त्या गोष्टी गणितात आणाव्याच लागतील. अगदी 'बालकी खाल' काढायची झाल्यास टाकीमधील पाण्याची वरची पातळी आणि तोटीची पातळी या ठिकाणी वातावरणातील हवेचा दाब आणि पृथ्वीचे गुरुत्वाकर्षण सुध्दा सूक्ष्म विचार करता किंचित वेगळे असते याची दखल घेता येईल, पण हे म्हणजे 'पाय'चे उत्तर तीन पूर्णांकानंतर दिलेल्या दशांश चिन्हापुढे शेकडो, लाखो आकड्यापर्यंत काढण्याइतके निरर्थक आहे.